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H.-J. Kowalsky (auth.)'s Topologische Räume PDF

By H.-J. Kowalsky (auth.)

ISBN-10: 3034869061

ISBN-13: 9783034869065

ISBN-10: 303486907X

ISBN-13: 9783034869072

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9 Ein Mengensystem Q; ist genau dann Subbasis einer Topologie 7: von R, wenn es eine tJberdeckung von R ist. Die Topologie 7: ist durch Q; eindeutig bestimmt. Umgekehrt kann jede Topologie au! diese Weise gewonnen werden. 7 (die nicht eingeklammerten und auch die eingeklammerten). Es bestimmt somit eine Topologie von R, bei der alle Mengen gleichzeitig offen und abgeschlossen sind. Diese Topologie ist die diskrete Topologie. Das System {0, R} erfiillt ebenfalls die genannten Bedingungen. Die zugehOrige Topologie ist die triviale Topologie, bei der 0 und R die einzigen offenen und auch die einzigen abgeschlossenen Mengen sind.

Dann heisst die Menge r(M) ~ M n CM der Rand und die Menge b(M) ~ iVi n GM die Begrenzung vonM. Aufgabe: 1. b(M) ~ r(M) u r(GM). 2. r(M) ist genau dann abgesehlossen, wenn M Vereinigung einer abgesehlossenen und einer offenen Menge ist. 3. b(b(M)) s; b(M) u b(GM); das Gleichheitszeichen gilt im allgemeinen nicht. 4. Die Randbildung besitzt folgende Eigensehaften: (a) r(M n N) ~ (M n r(N)) u (N n r(M)). (b) r(R) = 0. (e) r(G r(GM)) s; M. 5. Umgekehrt sei eine Abbildung r: ~(R) --7 ~(R) mit den Eigensehaften (a)-(e) gegeben.

Wenn dann ~ ein Raster von R ist, so ist cp ~ = {cp A: A E~} ein Raster von R'. Ist umgekehrt ~' ein Raster von R', so ist auch cp-l ~' = {cp-l A': A' E ~'} ein Raster von R. Wenn jedoch a bzw. a' ein Filter ist, so ist cp a bzw. cp-l a' im allgemeinen kein Filter, sondern ebenfalls nur ein Raster. Unter der von cp induzierten Filterabbildung solI nun die durch cp* a = fU definierte Abbildung cp*: F(R) -+ F(R') verstanden werden. Entsprechend wird durch (cp-l)* a' = ~-l idie von cp-l induzierte Filterabbildung (cp-l)*: F(R)' -+ F(R) definiert.

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Topologische Räume by H.-J. Kowalsky (auth.)

by Daniel

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